בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 4 – מודל ריבועי: גשר בצורת פרבולה3 יחידות 372 · שיעור 29
📄 נוסח השאלה
מעל נהר בנו גשר בצורת פרבולה שמשוואתה היא y = −0.1x2 + 0.8x. הגשר מתחיל בנקודה O ומסתיים בנקודה B, כמתואר בסרטוט.
ציר ה־x מייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה O, וציר ה־y מייצג את הגובה (במטרים) מעל פני המים.
א. מצאו את שיעורי הנקודות O ו־B.
ב. מצאו את הגובה המקסימלי של הגשר.
יוסי הלך על הגשר. הוא התחיל בנקודה O וסיים בנקודה B.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. (1) מצאו בעבור אילו ערכים של x הלך יוסי על הגשר במגמת ירידה.
(2) כאשר יוסי הלך על הגשר במגמת ירידה, הוא עבר בנקודה שהגובה שלה מעל פני המים הוא 1.2 מטרים. מצאו את שיעור ה־x של נקודה זו.
סעיף א – שיעורי O ו־B
הנקודות O ו־B על ציר ה־x, ולכן y = 0:
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
y = −0.1x2 + 0.8x
נציב y = 0:
−0.1x2 + 0.8x = 0
נוציא גורם משותף x:
📐 כלל: מכפלה ששווה לאפס
x(−0.1x + 0.8) = 0
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
y = 0
📐 כלל: מכפלה ששווה לאפס
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף א – שיעורי O ו־B · המשך
x(−0.1x + 0.8) = 0
x = 0
או
−0.1x + 0.8 = 0
0.1x = 0.8
x = 8
סעיף א – שיעורי O ו־B · המשך
x = 8
O היא ראשית הצירים ו־B הנקודה השנייה:
✅ פתרון סופי: O(0 , 0)
B(8 , 0)
B(8 , 0)
סעיף ב – הגובה המקסימלי
המקדם של x2 שלילי (a = −0.1), ולכן הפרבולה "עצובה" והקדקוד הוא הנקודה הגבוהה ביותר. נציב a = −0.1 , b = 0.8:
📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולה
x = −b2a
x = −0.82 · (−0.1) = −0.8−0.2 = 4
נציב x = 4 במשוואת הגשר:
📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודה
y = −0.1x2 + 0.8x
y = −0.1 · 42 + 0.8 · 4
📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולה
x = −b2a
📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודה
מציבים את ה־x בפונקצייה
סעיף ב – הגובה המקסימלי · המשך
y = −0.1 · 42 + 0.8 · 4
y = −1.6 + 3.2 = 1.6
✅ פתרון סופי: הגובה המקסימלי הוא 1.6 מטרים
סעיף ג (1) – מגמת ירידה
הפרבולה "עצובה", ולכן היא יורדת מימין לקדקוד, כלומר בעבור x גדול מ־4. הגשר מסתיים ב־B שבה x = 8:
📐 כלל: ירידה בפרבולה עם a שלילי
4 < x < 8
✅ פתרון סופי: 4 < x < 8
📐 כלל: ירידה בפרבולה עם a שלילי
כש־a < 0 הפרבולה "עצובה": עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו
סעיף ג (2) – הנקודה בגובה 1.2 מטרים
y = −0.1x2 + 0.8x
נציב y = 1.2 במשוואת הגשר:
−0.1x2 + 0.8x = 1.2
−0.1x2 + 0.8x − 1.2 = 0
נכפול את שני האגפים ב־(−10) כדי לקבל מקדמים שלמים:
x2 − 8x + 12 = 0
סעיף ג (2) – הנקודה בגובה 1.2 מטרים · המשך
x2 − 8x + 12 = 0
נזהה את המקדמים:
📐 נוסחה: נוסחת השורשים
x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
a = 1
b = −8
c = 12
📐 נוסחה: נוסחת השורשים
ax2 + bx + c = 0
x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
סעיף ג (2) – הנקודה בגובה 1.2 מטרים · המשך
c = 12
נחשב קודם את הביטוי שבתוך השורש:
b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 12
b2 − 4ac = 64 − 48
b2 − 4ac = 16
√16 = 4
סעיף ג (2) – הנקודה בגובה 1.2 מטרים · המשך
√16 = 4
נציב בנוסחת השורשים:
x1,2 = −(−8) ± 42 · 1 = 8 ± 42
x1 = 8 + 42 = 6
x2 = 8 − 42 = 2
יוסי הלך במגמת ירידה, כלומר בתחום 4 < x < 8 (סעיף ג (1)). הפתרון x = 2 נמצא בחלק העולה של הגשר, ולכן הוא לא מתאים. הפתרון המתאים הוא x = 6.
סעיף ג (2) – הנקודה בגובה 1.2 מטרים · המשך
יוסי הלך במגמת ירידה, כלומר בתחום 4 < x < 8 (סעיף ג (1)). הפתרון x = 2 נמצא בחלק העולה של הגשר, ולכן הוא לא מתאים. הפתרון המתאים הוא x = 6.
בדיקה:
y = −0.1x2 + 0.8x
נציב x = 6:
y = −0.1 · 62 + 0.8 · 6
y = −0.1 · 36 + 0.8 · 6
סעיף ג (2) – הנקודה בגובה 1.2 מטרים · המשך
y = −0.1 · 36 + 0.8 · 6
y = −3.6 + 4.8 = 1.2 ✓
✅ פתרון סופי: x = 6
📌 סיכום התשובות
א
O(0 , 0)
B(8 , 0)
B(8 , 0)
ב
1.6 מטרים
ג (1)
4 < x < 8
ג (2)
x = 6
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא